人波と二人乗り

0.1秒の遅さで色を変える、それの連続

文系プランクトンによる確率論の実況中継#3

先ほどこちらの記事を書いたばかりですが、どんどん進めます

cleveland0714.hatenablog.jp

今回もかなり飛ばし飛ばしで行くと思うのでご容赦ください。

 さて、(Ω,ℱ,P)で定まる確率空間を考えます。

w∊Ωを一つ選ぶと値が定まる関数Xを考えていきたいみたいです。

ざっくりと用語を捉えます。

「ばらつきのある量」=確率変数

「得られる量の特徴づけ」: 期待値、分散etc…

などを調べるために、X:Ω→ℝという関数を定義するようです。

 

定義

Ωからℝへの関数で、任意のaに対し、{w|X(x)≦a}∊ℱを満たすXを確率変数という。

 

まあこの辺は1年のときの統計とかでやっていたことの確認ですね

 

さて、次の定義です

任意の実数xに対し、P(x≦X)=F(X)とあらわしたものをXの分布関数という

 

要するに、ある値までの確率の合計を出す感じだと思われます。

高校とかでやる、累積度数、みたいなやつに近い印象です。

 

F(X)のグラフを考えると、xが大きくなるにつれて当然累積が大きくなっていくので、和が1に近づいていく形を取ります。

 

ここで注意事項みたいだ

「Ωの要素が有限個のときはxの取りうる値も有限個。P(x=xi)=Piと対応が取れる。一方、Ω=ℝのときは、積分を用いて確率を表す場合がある」

 

まあ理解できたなんてとても言えません。離散型のグラフだと対応する値がそれぞれ取れるが、連続型だと値を関数として扱うから、積分で確率を出すようになるって感じなんですかね?

 

よくわかりませんが、そういう感じな気がします(また分かり次第書きなおすと思います)

 

まだ注意があった…

「Ωの要素が無限個あるときは「加速関数」「ℱのσ加法性」から定式化する」らしいですが、なにもわかりません

教員も3年以降の授業で扱う内容って言ってたのでここでは飛ばそう…

 

気を取り直して次に行きましょう

離散型・確率変数

xの取りうる値がn個で、P(X=xi)=Pi   (i=1…n)

この時、f(xi)=piとするfは「確率分布を定める」

 

この辺でグラフを扱って例示していたんですが、載せるのがだるいんでパスで()

 

この辺りで、連続的に考えるときは微分積分をするところが、離散型だと差分・和分になる、みたいな話をしていた気がします。

 

数学ガールの一巻か二巻でも同じような話が出てきていたような気がするので、ぜひ読んでみてください。

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まああとは定理が適当に挙げられてて、ベルヌーイ型確率変数の定義とかが出てきておわりでした。

 

この辺も統計との被りが多いので何となくわかる気がするし、もう疲れたので今日はこれにて終了します。

 

以前、解析学に関して一回だけ書いたんですが、それ以降の二回の授業はマジでたいしたことをやっていないので、ある程度内容がすすんだら書くことにしようと思います。

 

それではまた。

 

ありがとうございました。