Cleveland0714’s blog

ほんとうは何かご存知ですか

文系プランクトンによる解析学入門の実況中継 #1

さて、昨日は確率論の第一回の授業について書きました。自分でもまだまだ理解ができていないですし、昨日の記事も結構間違ってるところが多いように感じています。

それはさておき、経済数学の授業は板書を取るので精一杯で理解どうこうの段階に全くないので、とりあえずは解析学入門について書くことにしましょう。

 そもそも解析学とは何なんだろうか?

ja.wikipedia.org

なるほど、極限や収束などの概念を扱う分野のことらしい。代数学幾何学とならんで数学の三大分野をなすのか…

 

代数と幾何っていう二つはよく聞くと思うけど、それと並ぶ分野だとは知らなかった。

 

というか、極限とか収束ってまさに微分積分でやってたことじゃん!

解析学=微分積分ってこと???と思ったが微積解析学の最も基本的な部分を成すだけで、イコールというわけではないようだ。

 

 

さて、授業内容に入ろう。

最初の数回は論理と集合を扱うようだ。そういえば先週のガイダンスでもそんなことを言っていた気もする。

 

昨日の確率論でも最初は用語の解説などから始まったように、この授業も最初はそのような入りをするようだ。

 

さて、一章「論理と集合」の初めは「命題と論理演算」

 

命題っていうのは誰もが中学とかで扱ったことがあるとは思うが一応確認しよう。命題とは内容が真か偽か判定できる文章

 

うんそうだね。中学校とかで「この命題が真か偽か答えよ」みたいな問題を見たことがある人も多いであろうから、なんとなくは想像できたかもしれない。

 

さて、例を挙げてみよう。

(例1)「49は7で割り切れる」

誰が見ても「真」だとわかる「命題」だ。これ以降、「真」を表す時はtruthの頭文字を用いてT、「偽」を表す時はfalseの頭文字を用いてFとあらわそう。

 

(例2)「x^2+y^2=z^2を満たすx,y,z∊ℕは存在する」

これもTだとわかるであろう。三平方の定理が当てはまるx,y,zそのままだ。例えばx=3,y=4,z=5がx,y,zの一例になっていることからすぐさまTだとわかる。

 

例2を少しいじったこれはどうであろうか

(例2-1)「x^n+y^n=z^n  (n=2,3,4…)を満たすx,y,z∊ℕは存在する」

とてもシンプルな命題だ。ご存知の方も多いであろうがこれは「フェルマーの最終定理」と呼ばれているものだ。こんなx,y,z、いろいろ探せば見つかりそうに思えるが、実際は存在しないらしい。ということでこの命題はFである。

 

(例3)「KOにはかわいい子が多い」

これはどうだろうか。Tだと言いたい人もいるかもしれないし、要求が高い人はFだと言い張るかもしれない。

だが、そもそもこれは命題ではない。このような主観的な文は命題とは言えないということだろう。

 

 

さて、「命題」とは何かということは何となくわかってきた気がするぞ

 

おっとここで注意事項?

「最初から真偽が定まっている命題を変数化して柔軟性を持たせた命題も考えられる。そしてそのようなものを「命題関数」と呼ぶ」

 

??????イマイチわからん

 

ということで例を見よう

 

(例)「P(x): xは7で割り切れる」

なるほど、さっきの(例1)ではxのところが49だったんだ。その49をxと置いて変数化したってことだ。xを動かすと、それぞれのxに対して真偽を判定することができる、そんな奴を「命題関数」って呼ぶみたいだ。

 

P(49) なら、49は7で割り切れる、というかまさにさっきの(例1)だ。当然T。

P(15)  なら、15は7で割り切れない。よってFだ。

なるほど大した話ではなかった。安心安心。

 

 

今度こそ命題はわかった気がする

ということで、次のステップだ。

 

 

さて次のステップは「論理演算」だ。

数の世界での計算は四則演算による。一方で命題の世界での計算は論理記号を用いて行われる(この言い方であってるのかわからないけど)

 

それでは実際にやってみよう

 

二つの命題P,Qを考える

(1)P∨Q : 「PまたはQ」の意。論理和という

(2)P∧Q: 「PかつQ」の意。論理積という

(3)¬P: 「Pでない」の意。否定という

まずはこれら三つを定め、そのもとで以下を定める

 

(4)P⇒Q: 「PならばQ」の意。含意という

  (¬P)∨Q  により定める

(5)P⇔Q: 「PとQは同値」の意。必要十分という

  (P⇒Q)∧(Q⇒P) により定める

 

まあこの辺は定義だし、そこに私の意志が介在することはできないであろう。(1)と(2)とかは集合のときに使う記号に似ているし、意味もほぼ同じだと考えて問題ないだろう。

(5)の意味も分かる。~が必要十分であることを示せ、みたいな証明問題を解くとき、P⇒QとQ⇒Pを求めることで示すことが多々あることからも想像できるのではないだろうか。

問題は(4)だ。直感だけでは全くもって理解不能

まあ後々なんかいい考え方が思いつくと信じて今は飛ばそう。

 

4/21追記

この(4)について同じ大学の理工学部の方からアドバイスをもらったので、後程「真理値表」というものを紹介するところで(4)についての考え方も一緒に書くことにします。

 

 

さて、相変わらず例を見るところから始めよう

(例)P:1>3  (F)    Q: 5<11   (T)という二つの命題について以下を考える

(1) P∨Q: 1>3  or  5<11  

右側がTになっているためTだ。

(2)P∧Q: 1>3 & 5<11

左側がFなのでFだ。

(3)¬P: 1≦3 

これはTだ。

(4)P⇒Q

普通に考えると「1>3」ならば「5<11」が正しいかを調べればいいのだが、このままでは意味不明だ。

そこで、さきほど含意を厳密に定義した時の方法をここに持ち込んで考える。

¬[1>3]∨[5<11] すなわち [1≦3]または[5<11]となりTであることがわかろう。

 

このように、ある命題から新たに作った命題の真偽を以下のように定める。

 

 f:id:Cleveland0714:20190416203121j:plain

 

このように単純化することで考えやすくなった!

PとQを入れ替えたりして考えることで実際に考える量はもっと減らすのも容易だ。

 

 

ここでまた注意事項が来た

命題[P⇔Q]が真である、とはただ単にPとQの真偽が一致しているに過ぎないということらしい。

 

記号についても注意事項があるようだ

「P⇔Q」はこれ一つで命題になっている

それに対し

「P≡Q」はただPとQの真偽が一致していることを表すだけ

だという差がある点だ。

 

 

 

4/21追記

先ほどの(4)についてここで書こうと思う

まず、P⇒QがFとなるときを考えてみよう。

先ほどの真理値表によると、P⇒QがFになるのはP∧(¬Q)(PかつQでない)ときであることがわかる。

 

さて、これを否定してみよう。するとP⇒QがTとなるとき、(¬P)∨Qとなることもわかろう。

 

それでは(4)を見直してみよう。

(4)P⇒Q: 「PならばQ」の意。含意という

  (¬P)∨Q  により定める

 まさにここで検証した結果によって含意とはなにかが定められていることが分かった。

 

なるほど

自分一人でやっているときには見えてなかった考え方だった。

リプありがとうございました。

 

 

 

はい、なんかやる気が急激になくなったので、めちゃめちゃまとめます

 

うん、ここまでTとかFとか使って真偽を表していましたが、真を1、偽を0として表現する方法があるそうです。

 

あープログラミングみたいだね~

 

そういや、1とか0って何乗しても同じ数字であり続ける特徴があるね~

この0,1を使ってもさっきの論理演算を考えられるらしいよ~

 

そんでもって、いくつか定理が成り立つんだってさ

結合法則、分配法則、ドモルガンの法則、二重否定はもとの定理に一致することとかがあげられるよ!

 

結合法則とか分配法則っていろんなところで出てくるけど、ここでも当てはまるんだね!

数学ってすごいね~

そんでもってこの辺りは真を1、偽を0として簡単な計算することでちょちょいと証明できるよ!

 

うん、すごい雑になったけど、終わり

 

バイバイ