Cleveland0714’s blog

ほんとうは何かご存知ですか

文系プランクトンによる確率論の実況中継 #1

さて、今週からいよいよ本格的に授業が始まりました。

虚無感しかない英語の授業が今週最初の授業だったため、すでにやる気がなくなりましたが、なんとかやっていきたい所存です。

 

 

大学に入って一年間、文系学生として過ごしているとなぜか理系に対するあこがれが強まっていき、今年の授業は数学系を多少多めに取ってみました。

 

一年の頃は微分積分の基本や線形代数の基本などを扱ったに過ぎなかったのですが、今年履修した確率論、経済数学、解析学などでは昨年よりもかなり踏み込んだ内容を扱うようです。

 

ところで、最近とあるnoteが小さな話題を呼んでいます。

note.mu

 

題のとおり、プログラミング初心者の方が競技プログラミングに挑んでいく非常に面白いものになっています。

 

この記事を読む中で、自分の思考を文字化することによる利益の大きさに気が付かされたので、今回から(いつまで続けられるかわかりませんが)先ほど挙げた授業等における自分の思考を文章化していきたいと思うに至りました。

 

とはいえ、こっちは数3すらまともにやったことのない文系学生。

大学に入ってからようやくeやらcosやらの微分をやったような人間ですので、多数の間違いを含む可能性が高いです。

 

もし記事の中に間違いやもっといい書き方があったら、コメントやらTwitterのDMやらリプやらでどんどん指導していただきたいです。

 

読者の皆様の力を借りて、よりよい記事を作り上げていきたいと思います。

 

 用語など

 

さて、内容に入っていきたい。

どのような分野についてでも言えることであるが、最初はある程度、その分野で登場する用語の説明から始まることが多い。この授業もその進み方のようだ。

 

まず、この授業では「無限」「確率」の対象として扱っていきたいらしい。

そのために、「集合」を利用していくそうだ。

さっそく「何を言っているんだこのおっさんは…」って感じだが、とりあえず聞いていこう。

 

ランダムな試行に対する結果の集まり、すなわち「確率を考える対象の集合」をΩ(オメガ)とするという。

なぜΩなのかわからないが、まあそこは気にせず行こう。

ふむふむ、、、何かしらのランダムな試行を重ねていった結果を書き出せば、自分が考えたい確率が対象とする集合ができていくのはわかる。

 

さて、具体例で考えよう。

 コインを投げる試行を考えよう。コインは表と裏だけが出るとし、コインが立ったりすることはないと仮定する。

 

まず、一回コインを投げるとする。この時、Ω={表、裏}といえる。

うん、これは納得だ。

 

では2回なら?

 Ω={表表、表裏、裏表、裏裏}となる。

これも簡単だ。

 

投げるものをコインからさいころに変えてみる。コインは裏表の2パターンしかなかったが、さいころは1~6まで6パターンある。このときどうなるか

 

さいころを一回投げるとき、Ω={1,2,3,4,5,6}となる。これもわかるぞ。

 

では試行回数を2回に増やしたら?

Ω={(1,1)(1,2)……(6,5)(6,6)}となる。2回の試行において、それぞれ6パターンの目が出得るので全部で6*6=36通りだ。

 

こういう風に、ひたすらあり得るパターンを書き出して集合を書いていく方法を「外延的記法」というそうだ。上の36通りですら全部書き出すのは面倒だったため、途中を省略している。これがもっとパターンが増えたら、その表記はどんどん困難になってしまう。

そこで用いるのが「内延的記法」、先ほどのものを内延的記法で書くとこうなる

Ω={(i,j)|i=1,2,…,6 j=1,2,…,6}

 

ちょっとカッコいい

 

|の右側の書き方を工夫することでパターンが増えたときでも対応できるようにするのだろう。

 

このような集合Ωを全事象標本空間と呼ぶようだ。確かに、高校とかで確率を考える時に前提にしていたパターンはこのΩになっていたように感じる。

 

またΩの要素ωを根源事象という。ωはΩに含まれるので記号を用いてω∊Ωとあらわせるのも明らかだ。

 

事象

まず、Ωの部分集合の全体を"2^Ω"で表す。なぜ、この形で表すのか?

先に例を挙げてから振り返って考えることにしよう。

 

Ω={表、裏}のとき。先ほどのコインを用いたときの話だ。

 

この集合Ωについての部分集合を考えよう。Ωの要素は「表」と「裏」の二つがある。ということは部分集合はどうなるか。

ここで{表}と{裏}、{表、裏}という3つは簡単に挙げられるだろう。しかし実はもう一つ部分集合が存在する。

 

それは空集合

記号では∅とあらわされるやつだ。「表」という要素も「裏」という要素も持たない集合である。

 

これらをまとめよう。すなわち、ここでいうΩの部分集合全体2^Ωは以上をすべて挙げて、以下のようになる。

 

2^Ω={{表},{裏},{表,裏},{}}

   最後の空の括弧は空集合ということにする。

見ての通り、この集合の要素は4つになっている。

 

さて話を戻して、なぜ2^Ωになるのだろうか。

 

もとの集合Ωには2つの要素「表」と「裏」があった。この部分集合を考えるには、その部分集合が「表」と「裏」を要素として持つか否かという2パターンがある。

ここではΩの要素が二つ。そのため、部分集合全体は2^2=4つの集合を持つと言えるようだ。あくまでも部分集合全体から見たときは「表」 や「裏」も集合としてとらえるのがふさわしいっぽい。

 

そのため、「表」∊Ω、{表}⊂Ω、{表}⊂2^Ωとなるらしい(なんか急にフォントが変わっちゃったんだが…)

 

さて、ここでΩの部分集合を事象とよぶ。

 

また例を挙げよう。数学ガールでもよく「例示は理解の試金石」って言ってるしね笑

 

さて、Ω={(i,j)|i=1,2,…,6 j=1,2,…,6}

   A={(i,3)|i=1,2,…,6}  とするとどうなるか。

 

AΩでAは「1つは3の目が出る事象」である。

 

はぁ、ここまでは何となくわかった感じがする(ホンマか?)

 

とりあえず進もう。

 

おっと、一つ書き忘れていたがΩが与えられたとき、2^ΩをΩの冪集合というらしい。

 

ここで事象全体をFで表す。

 

?????雲行きが怪しいぞ????

 

再び例を考えよう。「Ω={表、裏}のとき{{表},{裏},{表,裏},{}}=(2^Ω)=Fとする」

 

うん、ほかに事象ない気がするし、きっとこれが全体であってる。でもこれだと2^Ω=FになっててわざわざFを置いたありがたみがあまりない。

 

お、注意事項が語られ始めた…

 

ふむ、「Ωが有限個の要素で構成されるときはF=2^Ωとしてよい」

 

ということは逆のときはダメってことか?

 

「Ωが「大きすぎる」集合のときは2^Ωは扱いにくい」

 

oh…よくわからんけど、ヤバめな集合について考えると2^Ωを扱ってもあまりうれしくないって認識しかできん。

 

まあ、ここまで例で挙げられてたのは有限個の要素のときばかりだったから、とりあえずは2^Ω=Fとしておいても問題ない気がする…

 

これがダメなときは教員がなんか言ってくれるでしょ…

 

このような注意事項をもとに、以下の条件が必要になるらしい。

(1) Ω∊F

(2) A∊F ⇒ Aの補集合∊F

(3) Ai∊F ⇒ UiAi∊F

 

?????????????????

 

いきなりどうした???????

一つずつ見ていこう

(1)はさっきまで話していたことから明らかな気がする。

(2)(3)はなんだかよくわからん。Twitterでつぶやいてたら理工学部の数強の方から飛んできたリプの内容とつながってるような気がする。

 

 

まあこの辺は授業でも誤魔化してたし、3年生になってからの解析学とかでやるかも?みたいなことを言っていた気がするのであまり深く考えすぎなくてもいいことにしておこう。

 

ちなみに、これら3つの条件を満たすものを「σ集合族」というっぽい。

 

これまでで書ききれなかった用語についても多少書こう。

A⋃BをAとBの「和事象」、A⋂BをAとBの「積事象」という。

A⋂B=∅のとき、AとBは「排反」

 

まあ、この辺はわかるので飛ばしましょう。

 

確率

高校ではΩは有限事象であった。

これを無限にしていくとき、以下のように確率を与える。

f:id:Cleveland0714:20190416001259j:plain

 

相変わらず字が汚いのは許して下さい。

 

まあ、上の画像に書いてあることは容易に理解可能であろう。

各要素についての確率は必ず0以上1以下になっており、すべての確率を足し合わせると1になるということである。

 

コインを例に取ろう。

このコインはゆがんでいて、表が出る確率が0.4,裏が出る確率が0.6だとしよう。

このとき、0≦p(表)=0.4≦1かつ0≦p(裏)=0.6≦1が成り立っている。

Σ=p(表)+p(裏)=0.4+0.6=1となっており、確かにあってそうだ。

 

ん、無限にするんだから、この要素をもっと増やしていけばいいってことだ。

正規分布とかはまさにこれを満たしていると言えるような気がする。

 

横軸に値が取られていて、縦軸に確率密度がとられている。

確率密度関数を-∞~∞に関して積分すると確率1になる。

f:id:Cleveland0714:20190416003041p:plain

 

この図はパーセント表記になっているが、足すと100%になるので言っていることは同じである。

 

いや、ここで正規分布を挙げたのは間違いだったかもしれない、、、

しかし現状の自分では判断できないので、気にせず進もう。

 

「Ωが「大きい集合」のときは各ω∊Ωに確率を与えられない」らしい

 

あーそうか…

関数とかを利用しないとやってられないって感じなのかなぁ

 

「よって次の公理のもとで確率を考える」

公理  確率は以下を満たすものとする

f:id:Cleveland0714:20190416004138j:plain

 

この画像の式間違ってるじゃん

(3)の∅(i,j)ってなってるところは(i≠j)です。申し訳ない

 

さて、(1)はわかるぞ。

ランダムな試行すべてについての確率を合計すると1になるってことだろう。

 

(2)はどうだろう。A∊FとなるAについて0≦p(A)≦1

これは先ほどの0≦p(ω)≦1と対応すると言えそうだ。

 

さて(3)は少し難易度が高まりそうだ。

うーんイマイチわからんけど、「Ai∊FでAi⋂Aj=∅(i≠j)」ってことは、まず異なるiとjを取り出すとAiとAjがFに含まれる、かつAiとAjが排反という前提が与えられている。

 

この前提のもと、「それぞれの要素を合計したもの全体についての確率」が「個々の要素に対する確率を合計したもの」が等しくなる、、、みたいなことを言ってるような気がする。(ホンマか?)

 

まああってると信じよう。

 

これらの公理によってΩが「大きい集合」のときの確率を捉えられたようだ。

 

さて、本日の授業ではこれまで出てきた用語などを用いてもう一単語を定義して終わりのようだ。

 

久々の90分授業で頭を使う授業で疲れてきた…

 

定義 

与えられた集合Ωについて、上の条件・公理を満たす

(Ω、F、P)を確率空間という

 

 

らしい

 

なんで「空間」なんだ???とは思うが今日はもう疲れたので後日調べることにしよう…

 

自分の記事は信憑性のかけらもありませんので、もっとちゃんとしたページをご覧になってください…(今回のテーマだとこの辺かな?https://mathtrain.jp/probspace )

 

授業ではこのあと問題演習があったがそれはたいした難易度ではなかったし、なによりもこの記事を書き疲れたので今日はもう打ち切ります…

 

 

お見苦しいところが多いとは思いますが、冒頭でお願いしたように、もしよければコメント等でフィードバックしていただければ幸いです…

 

 

それではまた